Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.


Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3



Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm

S(l) = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

SIMPLIFICACION

 Transformación de una cosa en otra más sencilla,más fácil o menos complicada:
la simplificación de los procedimientos administrativos acelerará los trámites legales.
mat. Reducción de una expresión algebraica o numérica a su forma más simple:
la simplificación de una ecuación.

MULTIPLICASION ALGEBRAICA


Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -



Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n

Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz





Pero en el algebra se obedece también la ley de los coeficientes.



Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

SUMA ALGEBRAICA

"La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o mas sumandos (expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o ADICION." (Dr. A. Baldor)
CARACTERISTICA DE LA ADICION FINAL

En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA
PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio.
PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A
PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).

Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.

Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A
PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.

Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple que: A+(-A)=0

RESTA ALGEBRAICA

"La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido (DIFERENCIA, RESTA O SUSTRACCION), cuando se conocen la SUMA O ADICION (el MINUENDO) y uno de los sumandos (el SUSTRAENDO)." (Dr. A. Baldor)

Otra definición dice que LA RESTA ES LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA. Y hay quienes van a afirmar que LA RESTA ES EL RESULTADO DE SUMAR A UN POLINOMIO DADO llamado MINUENDO, el inverso aditivo de otro POLINOMIO que en tal caso se llamará SUSTRAENDO.

Las tres explicaciones son válidas, y tendrán que coincidir en un hecho fundamental: LA RESTA, ADICIÓN O SUSTRACCION ES UNA OPERACION DE COMPARACION, EN LA QUE SE ESTABLECE LA DIFERENCIA ENTRE DOS POLINOMIOS, O BIEN LO QUE LE FALTA A UN POLINOMIO PARA LLEGAR A SER IGUAL AL OTRO.
CARACTERISTICAS DEL MINUENDO

El minuendo es el polinomio que va a DISMINUIR.
CARACTERISTICAS DEL SUSTRAENDO

El sustraendo es el polinomio que representa CUANTO VA A DISMINUIR el minuendo.
CARACTERISTICA DE LA SUSTRACCION O DIFERENCIA FINAL

En una resta algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre MINUENDO Y SUSTRAENDO, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA
PROPIEDAD DE CERRADURA: la RESTA O DIFERENCIA de dos polinomios dará como resultado otro polinomio.
NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de MINUENDO Y SUSTRAENDO si altera el resultado de la RESTA.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A
NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos POLINOMIOS.
CONSECUENCIAS DE LA PROPIEDAD DE CERRADURA EN LA RESTA ALGEBRAICA

Sean tres polinomios M (MINUENDO), S (SUSTRAENDO) Y D (LA RESTA O DIFERENCIA), es posible verificar las siguientes situaciones:
M-S = D, la DIFERENCIA es el resultado de restar el SUSTRAENDO AL MINUENDO.
M = D+S, el MINUENDO será el resultado de sumar la DIFERENCIA con el SUSTRAENDO, o bien que EL SUSTRAENDO ES LO QUE LE FALTA A LA DIFERENCIA PARA SER IGUAL AL MINUENDO.
S = M - D, el SUSTRAENDO será el resultado de restar la DIFERENCIA al MINUENDO, o bien que LA DIFERENCIA ES LO QUE LE FALTA AL SUSTRAENDO PARA SER IGUAL AL MINUENDO.

DIVISION ALGEBRAICA

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C

Donde: D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”)
d es el divisor (factor conocido)
C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

Leyes que sigue la división:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -



Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

Donde m y n son números y n es distinto de cero



Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias.



Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así: