martes, 20 de noviembre de 2012

7 Casos de factorizacion

INTRODUCCIÓN

En este blog se expondrán algunos casos de factorizacion de el álgebra de Baldor, es un sencillo blog que te ayudara a entender algunos de los muchos casos de factorizacion que contiene esta muy conocida álgebra, no es tan dificil como todo el mundo dice, si prestas atención al leer las entradas de este blog se te hará fácil entender caso tras caso, bueno, mi intencion no es aburrirlos con el intro de mi blog, asi que, empecemos!!


TEMAS DEL BLOG

LOS CASOS DE FACTOREO
(Lista de Casos - Conceptos Generales)

1) Factor Común (o "Primer Caso")
2) Factor Común en Grupos (o "Segundo Caso")
3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o "Tercer Caso")
4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o "Cuarto Caso")
5) Diferencia de Cuadrados (o "Quinto Caso")
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado (o "Sexto Caso")
7) "Trinomio de Segundo Grado" (o "Séptimo Caso")  (Este caso lo deben Incluir)

CASOS COMBINADOS DE FACORIZACIÓN

1) Casos especiales en cada uno de los casos de factorización

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2) Simplificación
3) Multiplicación
4) División
5) Sumas y Restas

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) Factorización
2) Operaciones con Polinomios
3) Suma de Polinomios
4) Resta de Polinomios
5) Multiplicación de Polinomios


_________________________________________________________________________________
FACTOR COMÚN (PRIMER CASO).

_________________________________________________________________________________



sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, para sacar esto hay una regla, en mi opinión reglas como estas deberían haber para todos los casos de factorizacion hace que las cosas sean mucho mas sencillas, la regla es la siguiente: Cuadrado del primer termino màs o menos cuadrado del segundo por el primero màs cuadrado del segundo, no hay que olvidar que los dos son positivos iguales funcionan como el primer termino, teniendo claro esto es muy fácil solucionar este primer caso.


Ejercicios:

Algunos ejercicios de este primer caso son:

MathType 5.0 Equation


UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS



_________________________________________________________________________________

FACTOR COMÚN EN GRUPOS (SEGUNDO CASO)
_________________________________________________________________________________

Se llama factor común por agrupación de términos  si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo, Cuando pueden reunirse en grupos de igual numero de términos se le saca a cada uno de ellos el factor común, si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se le saca a este grupo como factor común quedando así una multiplicasion de polinomios, tratar desde un principio que queden iguales los términos de los paréntesis  eso hará mas sencillo resolver el problema.

Ejercicios:

Algunos ejercicios del segundo caso son:



17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz                 = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
                                                                            = (17x +3y +7z)(a – m)



m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)                                   = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
                                                                             = (x + 2)(m + 3 – 1)





m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)                                    = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                     .                                                                             = (x + 2)(m + 3 -1)


UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS



_________________________________________________________________________________
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TERCER CASO)

_________________________________________________________________________________




Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”


Ejercicios:



1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2

– Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a -b)

Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 <– Solución



2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2

Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a +b)

Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 <– Solución



3) x^2-2x+1 = (x -1)^2

Raíz cuadrada de x^2 = x ; raíz cuadrada de 1 = 1

–> el binomio es: (x -1)

Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 <– Solución.



UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS


_________________________________________________________________________________
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CUARTO CASO)
_________________________________________________________________________________



Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego calculo:
el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

Ejercicios:


1)




2)


UNA IMAGEN DICE MASQUE MIL PALABRAS
  
___________________________________________________________________________________
DIFERENCIA DE CUADRADOS (QUINTO CASO)
___________________________________________________________________________________
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".



EXPLICACIÓN:

Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿qué es un cuadrado?):

Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:

 x2 es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".


UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS



___________________________________________________________________________________
SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (SEXTO CASO)
___________________________________________________________________________________
Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia, Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:



EJEMPLOS


1)  P(x) = x5 + 25   como el exponente es IMPAR y el signo POSITIVO, el divisor será(x + 2).


x5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x + 32   completamos el polinomio para aplicar Ruffini.







2) P(x) = x3 + 23 como el exponente es IMPAR y el signo NEGATIVO, el divisor será (x - 2).

 x3 + 0 x2 + 0 x – 8  completamos el polinomio para aplicar Ruffini.







3)  R(x) = x4 - 24  como el exponente es PAR y el signo NEGATIVO, los divisores serán
 (x - 2) y (x – 2).  X4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x – 16  completamos el polinomio para aplicar Ruffini,

Independiente del orden en el cual usemos los dos divisores el resultado será el mismo, para mostrar esto hare los dos caminos posibles, pero cuando ustedes resuelvan sus ejercicios deben elegir uno solo de los caminos.

UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS


___________________________________________________________________________________
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO (SÉPTIMO CASO)
___________________________________________________________________________________


En una variable al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.

Como una función representa en la  geometría analítica, la ecuación de una  parábola, y ésta tiene aplicaciones en la  física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto.

El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y  Leibnitz, en la época moderna.


EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

x1,2 =

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 =

x1 = (con la suma)

x2 = (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)






UNA IMAGEN DICE MAS QUE MIL PALABRAS











1 comentario:

  1. VISITEN MI PAGINA AHI ENCONTRARAS EJEMPLOS CON VIDEOS LE AYUDARA DE MUCHO VISITEN MI BLOG http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/

    ResponderEliminar