Operaciones con polinomios

Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3


Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:


División de polinomios
Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.



A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:



Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2



Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x



Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8



10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.



5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.



6Sumamos los dos coeficientes.



7Repetimos el proceso anterior.



Volvemos a repetir el proceso.



Volvemos a repetir.



8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18



Dividir los polinomios:

1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)



2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)



3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1




 Dividir por Ruffini:

1 (x3 + 2x +70) : (x+4)





2(x5 − 32) : (x − 2)



C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0

3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)



C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56
FUENTES:

www.wikipedia.org
www.buenas tareas.com
www.blogger.com.co
www.google.com
www.rincondelvago.com
www.youtube.com
www.vitutor.com

Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.


Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3



Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm

S(l) = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

SIMPLIFICACION

 Transformación de una cosa en otra más sencilla,más fácil o menos complicada:
la simplificación de los procedimientos administrativos acelerará los trámites legales.
mat. Reducción de una expresión algebraica o numérica a su forma más simple:
la simplificación de una ecuación.

MULTIPLICASION ALGEBRAICA


Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -



Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n

Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz





Pero en el algebra se obedece también la ley de los coeficientes.



Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

SUMA ALGEBRAICA

"La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o mas sumandos (expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o ADICION." (Dr. A. Baldor)
CARACTERISTICA DE LA ADICION FINAL

En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA
PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio.
PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A
PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).

Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.

Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A
PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.

Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple que: A+(-A)=0

RESTA ALGEBRAICA

"La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido (DIFERENCIA, RESTA O SUSTRACCION), cuando se conocen la SUMA O ADICION (el MINUENDO) y uno de los sumandos (el SUSTRAENDO)." (Dr. A. Baldor)

Otra definición dice que LA RESTA ES LA OPERACIÓN INVERSA DE LA SUMA. Y hay quienes van a afirmar que LA RESTA ES EL RESULTADO DE SUMAR A UN POLINOMIO DADO llamado MINUENDO, el inverso aditivo de otro POLINOMIO que en tal caso se llamará SUSTRAENDO.

Las tres explicaciones son válidas, y tendrán que coincidir en un hecho fundamental: LA RESTA, ADICIÓN O SUSTRACCION ES UNA OPERACION DE COMPARACION, EN LA QUE SE ESTABLECE LA DIFERENCIA ENTRE DOS POLINOMIOS, O BIEN LO QUE LE FALTA A UN POLINOMIO PARA LLEGAR A SER IGUAL AL OTRO.
CARACTERISTICAS DEL MINUENDO

El minuendo es el polinomio que va a DISMINUIR.
CARACTERISTICAS DEL SUSTRAENDO

El sustraendo es el polinomio que representa CUANTO VA A DISMINUIR el minuendo.
CARACTERISTICA DE LA SUSTRACCION O DIFERENCIA FINAL

En una resta algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre MINUENDO Y SUSTRAENDO, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA
PROPIEDAD DE CERRADURA: la RESTA O DIFERENCIA de dos polinomios dará como resultado otro polinomio.
NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de MINUENDO Y SUSTRAENDO si altera el resultado de la RESTA.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A
NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos POLINOMIOS.
CONSECUENCIAS DE LA PROPIEDAD DE CERRADURA EN LA RESTA ALGEBRAICA

Sean tres polinomios M (MINUENDO), S (SUSTRAENDO) Y D (LA RESTA O DIFERENCIA), es posible verificar las siguientes situaciones:
M-S = D, la DIFERENCIA es el resultado de restar el SUSTRAENDO AL MINUENDO.
M = D+S, el MINUENDO será el resultado de sumar la DIFERENCIA con el SUSTRAENDO, o bien que EL SUSTRAENDO ES LO QUE LE FALTA A LA DIFERENCIA PARA SER IGUAL AL MINUENDO.
S = M - D, el SUSTRAENDO será el resultado de restar la DIFERENCIA al MINUENDO, o bien que LA DIFERENCIA ES LO QUE LE FALTA AL SUSTRAENDO PARA SER IGUAL AL MINUENDO.

DIVISION ALGEBRAICA

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C

Donde: D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”)
d es el divisor (factor conocido)
C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

Leyes que sigue la división:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -



Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

Donde m y n son números y n es distinto de cero



Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias.



Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así:

FACTOREO COMBINADO

EJEMPLO 1: (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)
2x2 - 18 =

2.(x2 - 9) =
x 3

2.(x + 3).(x - 3)

Primero se puede sacar factor común "2". Luego, en x2 - 9 se puede aplicar el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados).
En cualquier ejercicio combinado, se aconseja empezar por aplicar Factor Común si se puede.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para seguir la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
FACTOR COMÚN y DIFERENCIA DE CUADRADOS.

1) Primero saco factor común "2":

2x2 - 18 =

2.(x2 - 9) =
x 3

2) Luego, dentro del paréntesis quedó una Diferencia de Cuadrados, ya que tanto x2 como 9 son "cuadrados" de algo (¿qué es un "cuadrado"?).
Las bases son x y 3. La factorización de esa Diferencia de Cuadrados es entonces: (x + 3).(x - 3). Reemplazo a (x2 - 9) por su equivalente factorizado (x + 3).(x - 3), así:

2.(x + 3).(x - 3)

Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:

3ax2 - 12a =

3a.(x2 - 4) =
x 2

3a.(x + 2).(x - 2)

y3a5 - 100ay3 =

y3a.(a4 - 100) =
a2 10

y3a.(a2 + 10).(a2 -10)

5x7a3 - 45ax3 =

5x3a.(x4a2 - 9) =
x2a 3

5x3a.(x2a + 3).(x2a - 3)

UNA IMAGEN VALE MAS QUE MIL PALABRAS...

7 Casos de factorizacion

INTRODUCCIÓN

En este blog se expondrán algunos casos de factorizacion de el álgebra de Baldor, es un sencillo blog que te ayudara a entender algunos de los muchos casos de factorizacion que contiene esta muy conocida álgebra, no es tan dificil como todo el mundo dice, si prestas atención al leer las entradas de este blog se te hará fácil entender caso tras caso, bueno, mi intencion no es aburrirlos con el intro de mi blog, asi que, empecemos!!

TEMAS DEL BLOG

LOS CASOS DE FACTOREO
(Lista de Casos - Conceptos Generales)

1) Factor Común (o "Primer Caso")
2) Factor Común en Grupos (o "Segundo Caso")
3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o "Tercer Caso")
4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o "Cuarto Caso")
5) Diferencia de Cuadrados (o "Quinto Caso")
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado (o "Sexto Caso")
7) "Trinomio de Segundo Grado" (o "Séptimo Caso")  (Este caso lo deben Incluir)

CASOS COMBINADOS DE FACORIZACIÓN

1) Casos especiales en cada uno de los casos de factorización

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2) Simplificación
3) Multiplicación
4) División
5) Sumas y Restas

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) Factorización
2) Operaciones con Polinomios
3) Suma de Polinomios
4) Resta de Polinomios
5) Multiplicación de Polinomios

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FACTOR COMÚN (PRIMER CASO).

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sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, para sacar esto hay una regla, en mi opinión reglas como estas deberían haber para todos los casos de factorizacion hace que las cosas sean mucho mas sencillas, la regla es la siguiente: Cuadrado del primer termino màs o menos cuadrado del segundo por el primero màs cuadrado del segundo, no hay que olvidar que los dos son positivos iguales funcionan como el primer termino, teniendo claro esto es muy fácil solucionar este primer caso.


Ejercicios:

Algunos ejercicios de este primer caso son:




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FACTOR COMÚN EN GRUPOS (SEGUNDO CASO)

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Se llama factor común por agrupación de términos  si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo, Cuando pueden reunirse en grupos de igual numero de términos se le saca a cada uno de ellos el factor común, si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se le saca a este grupo como factor común quedando así una multiplicasion de polinomios, tratar desde un principio que queden iguales los términos de los paréntesis  eso hará mas sencillo resolver el problema.

Ejercicios:

Algunos ejercicios del segundo caso son:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz                 = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
                                                                            = (17x +3y +7z)(a – m)



m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)                                   = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
                                                                             = (x + 2)(m + 3 – 1)





m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2)                                    = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                     .                                                                             = (x + 2)(m + 3 -1)


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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TERCER CASO)

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Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”

Ejercicios:

1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2

– Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a -b)

Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 <– Solución



2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2

Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a +b)

Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 <– Solución



3) x^2-2x+1 = (x -1)^2

Raíz cuadrada de x^2 = x ; raíz cuadrada de 1 = 1

–> el binomio es: (x -1)

Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 <– Solución.

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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CUARTO CASO)

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Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego calculo:
el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

Ejercicios:

1)

2)

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DIFERENCIA DE CUADRADOS (QUINTO CASO)

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Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".



EXPLICACIÓN:

Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿qué es un cuadrado?):

Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:

 x2 es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

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SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (SEXTO CASO)

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Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia, Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:

EJEMPLOS


1)  P(x) = x5 + 25   como el exponente es IMPAR y el signo POSITIVO, el divisor será(x + 2).


x5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x + 32   completamos el polinomio para aplicar Ruffini.







2) P(x) = x3 + 23 como el exponente es IMPAR y el signo NEGATIVO, el divisor será (x - 2).

 x3 + 0 x2 + 0 x – 8  completamos el polinomio para aplicar Ruffini.







3)  R(x) = x4 - 24  como el exponente es PAR y el signo NEGATIVO, los divisores serán
 (x - 2) y (x – 2).  X4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x – 16  completamos el polinomio para aplicar Ruffini,

Independiente del orden en el cual usemos los dos divisores el resultado será el mismo, para mostrar esto hare los dos caminos posibles, pero cuando ustedes resuelvan sus ejercicios deben elegir uno solo de los caminos.

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TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO (SÉPTIMO CASO)

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En una variable al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.

Como una función representa en la  geometría analítica, la ecuación de una  parábola, y ésta tiene aplicaciones en la  física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto.

El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y  Leibnitz, en la época moderna.

EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

x1,2 =

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 =

x1 = (con la suma)

x2 = (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)

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